06. Формула Эйлера
HTML-код
- Опубликовано: 12 апр 2025
- Российская платформа математических вычислений и динамического моделирования Engee:
сайт: clck.ru/37kCz5
Телеграм канал: clck.ru/37kCww
###############
Формула Эйлера. Распространение экспоненциальной зависимости на комплексную зону.
Подписывайтесь на наш канал, чтобы не пропустить продолжение лекции.
Мы в соцсетях:
VK ‣ mathworks
Telegram ‣ t.me/exponenta_ru
#Алексей_Савватеев #Савватеев #Эйлер #математика #высшая_математика
![[Riemann | видео 1] Визуализация гипотезы Римана и аналитическое продолжение](/img/1.gif)
Спасибо, маэстро. Я понял что ходил в школу только за булочкой из столовой. 😊
0:08 - освежим ранее выведенные выражения для e^x
0:50 - изучим само число e, просто подставив x=1 в выражения для e^x
1:31 - выражение бесконечного ряда сходится очень быстро, благодаря бешеному росту факториала в знаменателе
2:00 - суммирование ряда быстро даёт нам выражение e=2.718281828.....
2:30 - год рождения Льва Толстого 1828, поэтому e=2.7[два Льва Толстых]...
4:34 - можно перейти в этих же выражениях от вещественной к комплексной области определения (спасибо Эйлеру)
5:41 - перейдём к вычислению знаменитого "е в степени (i умноженное на пи)"
6:02 - сперва выведем общую формулу Эйлера для выражения "e в степени (i умноженное на Фи)"
6:39 - для вывода используем определение e^x через предел
7:05 - графически изобразим комплексное число, возводимое в степень n под знаком предела
7:41 - под микроскопом: дуга приближается к нашему числу, с уменьшением "разницы"
8:11 - заменим вектор, указывающий на число, на вектор, указывающий в дугу
8:25 - возникающая разница будет "второго порядка"
9:30 - перефразируем выражения, перенеся разницу во второе
10:23 - воспользуемся леммой, и получим с одной стороны "е в степени (i умноженное на Фи)"
10:34 - с другой стороны, вспомним что возведение в степень n это вращение вектора n раз
11:11 - ЧТД: e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)
11:17 - резюмируем доказательство, пробежав по его логике ещё раз
12:46 - возьмём phi равное числу Пи
13:04 - получили e^(i*Pi) = -1
СПАСИБО
Наконец-то я понял, как оно получается. Последний шаг, что многократное умножение единичного вектора на себя просто поворачивает его на собственный угол, вызвал инсайт и просветление :) Спасибо!
да, сам офуел когда это-же самое у Mathologer посмотрел 2 года назад...
Формула Муавра, введение в комплексные числа)
Почему нельзя было сразу так сказать
Вот тоже спрашивал на парах по Вышке почему e в степени i "фи" равен сумме косинуса и iсинуса. И мне говорили мнемоническое правило!!! Спасибо за лекцию. Эйлер - гений.
6:22 - примерно такой же вопрос я задал своему лектору в вузе. Спросил, почему мы именно e так разложили по синусу и косинусу, какая здесь связь? Он мне ответил "Чтобы удобнее было брать натуральный логарифм". Я выпал, пошёл домой, посмотрел 3b1b + WildMathing и все понял. Но этот убийственный ответ помню до сих пор
Мне кажется, что проще было бы подставить аргумент экспоненты не в предел, а в ряд. После чего произвести перестановку (декомпозицию) ряда с выделив действительные и мнимые части. Получилось бы, что исходный ряд есть сумма рядов косинуса и синуса.
А если подставить e и пи в формулу получится ошибка ровно на порядок.
«Отпусти меня, глубина!»
Я же только чайку глотнуть и спать на кухню зашел, а уже полтора часа залипаю. 😅
Правильно говорить: "Глубина, глубина, я не твой." 😊
@@ИгорьМальцев-ж9х правильны оба варианта, один из киберпанка, а другой из книги)
Как бы было хорошо узнать от автора о математике с самого начала. Начиная от аксиом. Точки и линии, а затем постепенно подняться до хотя-бы 17-18 веков
Увы лекции изолированны, системы нет. Или уже где то в ю тюбе есть?
100 уроков
Блеск!
Я это доказательство слегка подкорректировал, используя свойство (cosx/n+isinx/n)^n=cosx+isinx. Дело в том, что это очень похоже при n стремящемся к бесконечности на (1+ix/n)^n, что и есть экспонента (использовал cosx/n = 1 + о(x/n) и sinx/n = x/n + o(x/n) при n стремящемся к бесконечности). Вот ссылка на полное видео: ruclips.net/video/rTfbjTWbc4U/видео.html. 5 минут и более простой язык в сравнении с комментарием)
Надеюсь для кого-то этот факт станет проще.
То есть мы как бы с этой линии при экстремальном приближении к 0 "спрыгиваем" на окружность, а дальше крутимся как хотим. Гениально
Ну если поправкой второго порядка можно пренебречь и предел для окружности и прямой одинаков, то почему все так ополчились на плоскоземельщиков?
зашёл посмотреть, что это за мем такой с eiπ=-1, а тут началась какая-то наркомания в духе -1/12.
ну ладно, фиг с ними с пределами, факториалами и комплексными числами.
Но 4:35 - что такое R и C, почему оно заменяется, зачем оно нужно, и почему тут это приведено, если ни раньше ни позже никаких ни R ни C не фигурировало?
Это просто значит: вместо рациональных чисел теперь рассмотрим комплексные
R- это множество вещественных чисел, а C- множество комплексных чисел. Он просто сдесь сделал переход из вещественных в комплексные.
те, кто произнес "когда он родился" - возможно чуть менее сообразительные, ведь они могли бы вспомнить значение е и узнать, год рождения
Возможно существует еще не открытые параллельные числовые модели, которые дадут потрясающие вещи в доказательствах и математической картине мира. Да знаю известны гиперкомплексные числа, но они как-то не "выстрелили".
жаль, но я пока туповат и понял только половину объяснения...
зачем я это смотрю в 2.51 ночи , я вообще не понимаю математику
фокус какой-то: как 2,72 возвести в какую -то степень, потом ещё прибавить единицу и в итоге всего получить зеро?!
ещё мнимая единица в степени! решающее уточнение
мне все еще кажется что пределы, это какая то уловка в математике, да стремиться к нулю но не ноль же, а значи с какой стати мы можем отбросить ее и приравнять числа, да пусть и бесконечно малая, но все же существующая поправка. матиматики не смогли обьять бесконечность и решили просто ее отбрасывать? так мы к другим галлактикам не долетим. эти малые правки, это разница между механикой Ньютона и Эйнштейна, все равно что говорить про энергию, представьте что для тунельного перехода перемещения в пространстве надо энергия Е+бесконечно малая(е), мы малую отбросили, и удивляемся почему стоим на месте, а надо все же Е+е. если между двумя числами можно втыкнуть еще одно число, то о каком равенстве пределов идет речь ?
Если поставить рядом с конкретным числом, допустим тройкой, какое-то число стремящиеся к нулю, то для этой величины, стремящиеся к 0, тройка будет чем-то бесконечным, потому что нет конкретного такого числа, умножив на которое мы получим из бесконечно малого числа какое-то нормальное. Пожтому им можно пренебрегать. Точно так же пренебрегают елиницой в выражении lim(x->Inf) (x+1)/x = 1. Любое число можете подставить вместо один и все равно получаете 1
@@Сладкоежка-ж5я если вы берете такое число, а потом отбрасываете, вам не кажется это странным?) х+1/х никогда не будет единицей даже в пределе, мы не имеем права что либо отбрасывать, это число пусть и стремится к единице но не достигает его.
@@ЕвгенийБондаренко-з8я мы ищем предел, то есть то, к чему это стремится. Нас не интересует какие конкретно последовательности чисел брали. Вы можете взять и выбрать любую вощрастабщуб последовательность положительных чисел и увидеть, что все дело идёт к 1
@@Сладкоежка-ж5я возможно вам стоит обратить внимание на какие-то примеры из жизни, вроде стремления к пределу различных выборок в статистике или хотя бы то, что с увеличением количества экспериментов с подбрасыванием орла и решки вероятность выпадения того или другого результата, будет всё ближе подбираться к 0.5
@Main Game а я стремлюсь быть богатым, значит я богат?)
Учителя есть просто их на работу не пускают и ГОВОРЯТ что учителей нет. Ключевое слово говорят.
Ладно подпишусь только из за Эйлера
У этого тождества присутствует некий философский смысл, или даже сакральный. Для меня понятие область мнимых чисел- это область, не существующая в проявленном мире и где возможны исчисления, невозможные в реальности. Мы закидываем в этот мнимый мир наши иррациональные числа "е" и "п", там они возводятся в степень друг друга и на выходе получаем "-1", чего в реальности никогда не получится. Выглядит почти как математическое доказательство существования Бога.
чтобы доказать (или опровергнуть) существование Бога, надо сначала дать точное определение Бога
А чеито в комментах никто не напихал за шутку про радиус Земли господину Савватееву? Сам не знает, а над другими шутит, не красиво!
Я который учусь на гумунитария
😴😕
Ты даже слово «гуманитарий» написать не можешь нормально, на кого ты там учишься, умник?
физтех
А вот получи своего любимого Путина, собирателя земель, раздавателя невежества
... чому число е - правильно Э
Тебе до сельских ребят ещё далеко